Exercises: Zero form

Hier findest du Verständnis- und Rechenaufgaben zur Nullstellenform. Lerne, die Nullstellenform einer Funktion zu berechnen und vertiefe dein Wissen!

1
Ist die Funktion $f (x) = (x + 3) \cdot (x - 5)$ hier in Normalform, Scheitelpunktsform oder in Nullstellenform angegeben?
Nullstellenform
Normalform
Scheitelpunktsform

Für diese Aufgabe brauchst du Wissen über die Nullstellenform, Scheitelpunktsform und Normalform.
Ein gutes Vorgehen ist, dir alle Formen untereinander aufzuschreiben und die Funktion $f (x)$ direkt mit den Formen zu vergleichen.
Formen
Die Funktion
$f (x) = (x + 3) \cdot (x^{} - 5)$
Die Normalform
$f (x) = a x^{2} + b x + c$
Die Scheitelpunktsform
$f (x) = a \cdot (x - d)^{2} + e$
Die Nullstellenform
$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$
Du erkennst vielleicht, dass die Funktion ein Produkt ist. Die Normalform und die Scheitelpunktsform sind aber meistens Summen. Die Nullstellenform dagegen ist immer ein Produkt.
Hier erkennst du dann auch, dass die Funktion $f (x)$ in Nullstellenform ist, mit $a = 1$ , $x_{1} = - 3$ und $x_{2} = 5$ .
2
Gesucht ist eine quadratische Funktion $f$ . Die Funktion soll eine Nullstelle bei $5$ haben, deren Vielfachheit aber unbekannt ist. Welche der folgenden Funktionen kommt in Frage?
$f (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$
$f (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$
$f (x) = 7 \cdot (x - 5) \cdot (x - 8) \cdot (x - 8)$
$f (x) = 27 \cdot (x + 18) \cdot (x - 9)$
$f (x) = 34 \cdot (x + 5) \cdot (x + 66)$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenform
Die wichtigen Informationen aus der Angabe sind:
$f$ ist eine quadratische Funktion, hat also Grad $2$
$f$ hat mindestens eine Nullstelle
$5$ ist eine Nullstelle, also $f (5) = 0$
Jetzt kann systematisch vorgegangen werden:
Überprüfung der Grade
Die Funktion $f_{1} (x) = 7 \cdot (x - 5) \cdot (x - 8) \cdot (x - 8)$ hat Grad $3$ , kommt also nicht in Frage.Die restlichen Funktionen haben Grad $2$ , weil beim Ausmultiplizieren die höchste vorkommende Potenz $2$ ist.
Überprüfung der Nullstelle
Wie du erkennen kannst, sind alle Antwortmöglichkeiten in der Nullstellenform. Also kannst du die Nullstellen der Funktionen aus ihren Termen ablesen.
Funktion: $f_{2} (x) = 27 \cdot (x + 18) \cdot (x - 9)$
Die Nullstellen dieser Funktion sind $- 18$ und $9$ . Da $5$ keine Nullstelle ist, erfüllt $f_{1}$ die Voraussetzungen nicht.
Funktion: $f_{3} (x) = 34 \cdot (x + 5) \cdot (x + 66)$
Die Nullstellen dieser Funktion sind $- 5$ und $- 66$ . Hier ist es wichtig auf die Vorzeichen in Klammern zu achten.
Diese Funktion erfüllt also die Voraussetzungen auch nicht.
Funktion: $f_{4} (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$
Hier gibt es die doppelte Nullstelle bei $5$ , also ist $f_{4}$ eine Lösung.
Funktion: $f_{5} (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$
Diese Funktion hat ihre Nullstellen bei $3$ und $5$ und daher ist auch $f_{5}$ eine Lösung.
Zusammenfassung
Die beiden richtigen Antworten sind $f_{4} (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$ und $f_{5} (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$ .
3
Die Funktion $f$ ist eine quadratische Funktion mit dem Öffnungsfaktor $a = 3$ . Außerdem hat $f$ bei $- 5$ und $3$ Nullstellen. Wie lautet die Nullstellenform der Funktion?
$f (x) = 3 \cdot (x + 5) \cdot (x - 3)$
$f (x) = 3 \cdot (x + 5) \cdot (x + 3)$
$f (x) = 3 \cdot (x - 5) \cdot (x + 3)$
$f (x) = 3 \cdot (x - 5) \cdot (x - 3)$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenform
Variante 1
Die gesuchte Gleichung hat folgende Form:
$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$
Hierbei sind $x_{1}$ und $x_{2}$ die Nullstellen von $f$ und $a$ ist der Öffnungsfaktor.
Du kannst also die Werte einsetzen und erhältst:
$f (x) = 3 \cdot (x - (- 5)) \cdot (x - 3) = 3 \cdot (x + 5) \cdot (x - 3)$
Beachte vor allem die Vorzeichen in den Klammern. Bei einer negativen Nullstelle ändert sich das Minus in der Klammer zu einem Plus.
Deswegen ist
$f (x) = 3 \cdot (x + 5) \cdot (x - 3)$
die gesuchte Funktion.
Variante 2
Du kannst alternativ auch die Werte der verschiedenen Funktionen bei $- 5$ und $3$ ausrechnen.
Nur bei der Funktion
$f (x) = 3 \cdot (x + 5) \cdot (x - 3)$
gilt:
$f (- 5) = 3 \cdot (- 5 + 5) \cdot (- 5 - 3) = 3 \cdot 0 \cdot (- 8) = 0$
$f (3) = 3 \cdot (3 + 5) \cdot (3 - 3) = 3 \cdot 8 \cdot 0 = 0$
Also ist die richtige Lösung
$f (x) = 3 \cdot (x + 5) \cdot (x - 3)$
.
Tipp: Achte vorallem auf die Vorzeichen in den Klammern. Der Artikel zur Nullstellenform kann dir weiterhelfen.
4
Gegeben ist der nebenstehende Graph der Funktion $f$ . Bestimme die Funktionsgleichung in Nullstellenform.

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenform
Bestimmung der Nullstellenform
Verwende das Vorgehen aus dem Artikel Nullstellenform zur Bestimmung der Nullstellenform:
Zuerst musst du die Nullstellen des Graphen bestimmen.
Du siehst vielleicht, dass eine Nullstelle bei $x_{1} = - 1$ existiert und eine weitere bei $x = - 3$ . Die Vielfachheit ist jeweils $1$ . Falls du hier Probleme hast, schau nochmal in den Artikel zu Nullstellen.
Die Funktion hat also zwei unterschiedliche Nullstellen der Vielfachheit $1$ . Dies entspricht dem 1. Fall des Vorgehens aus dem Artikel über die Nullstellenform.
Die Funktionsgleichung ist also von der Form:
$f (x) = a \cdot (x - (- 1)) \cdot (x - (- 3)) = a \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)$
mit dem Öffnungsfaktor $a$ .
Als Nächstes ist $a$ zu bestimmen. Dafür gibt es zwei verschiedene Varianten:
1. Variante
Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt $S (- 2 | - 1)$ und dem Punkt $P (- 1 | 0)$ abgelesen werden.
Du erhältst $a = 1$ .
Die Nullstellenform der Funktion $f$ lautet also:
$f (x) = 1 \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)$ .
2. Variante
Die Nullstellenform ist, abgesehen von $a$ , bereits gefunden. Sie lautet:
$f (x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)$
Setzt du jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist, so kannst du die Gleichung nach $a$ auflösen.
Du kannst am Graphen sehen, dass der Punkt $P (0 | 3)$ auf diesem liegt und keine Nullstelle ist. Setze also $P (0 | 3)$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf.
$3 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 + 3) = a \cdot 1 \cdot 3 = a \cdot 3$
Teilst du beide Seiten der Gleichung durch $3$ , erhältst du $a = 1$ .
Damit ist die Nullstellenform gegeben durch:
$f (x) = 1 \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)$
.
Erinnere dich an das im Artikel Nullstellenform beschriebene Schema zur Bestimmung der Nullstellenform.
5
Du hast die Funktion $f (x) = 5 \cdot x^{2} - 10 \cdot x - 40$ in der Normalform. Wie sieht die Nullstellenform dieser Funktion aus?
$f (x) = 5 \cdot (x - 4) \cdot (x + 2)$
$f (x) = 5 \cdot (x - 1)^{2} - 45$
$f (x) = 5 \cdot (x + 4) \cdot (x - 2)$
$f (x) = 8 \cdot (x - 4) \cdot (x + 2)$
$f (x) = 5 \cdot (x - 10) \cdot (x - 40)$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenform
Die Nullstellenform gibt die Nullstellen einer Parabel an und hat die Form:
$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$

mit $x_{1}$ , $x_{2}$ Nullstellen und $a$ der Öffnungsfaktor.
Da $f$ in der Normalform ist, können wir den Öffnungsfaktor direkt ablesen mit $a = 5$ .
Also ist der nächste Schritt, die Nullstellen von $f$ zu bestimmen. Die Nullstellen bekommt man durch das Gleichsetzen von $f$ und $0$ .
$\begin{array}{clc} f (x) & = & 0 \\ 5 \cdot x^{2} - 10 \cdot x - 40 & = & 0 \end{array}$
Jetzt wendest du die Mitternachtsformel an, um die Nullstellen zu bestimmen. Damit erhältst du:
$x_{1 / 2} = \frac{10 \pm \sqrt{(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 800}}{10} = \frac{10 \pm \sqrt{900}}{10} = \frac{10 \pm 30}{10} = 1 \pm 3$
Die Funktion $f$ hat also Nullstellen bei $x_{1} = 4$ und $x_{2} = - 2$ .
Jetzt kannst du die Nullstellenform aufstellen und du bekommst:
$f (x) = 5 \cdot (x - 4) \cdot (x + 2)$
.
6
Es ist die quadratische Funktion
$f (x) = (x - 1)^{2} - 4$
in der Scheitelpunktsform gegeben. Verwende das Schema zur Bestimmung der Nullstellenform.

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellen bestimmen
Zuerst bestimmst du die Nullstellen: Setze die Funktion gleich $0$ und bestimme die Lösungen der Gleichung.
$f (x)$ $=$ $0$
${(x - 1)}^{2} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
${(x - 1)}^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
$x - 1$ $=$ $\pm \sqrt{4}$ $+ 1$
$x$ $=$ $\pm 2 + 1$
Die Nullstellen sind also gegeben durch $x_{1} = 2 + 1 = 3$ und $x_{2} = - 2 + 1 = - 1$ .
Jetzt bestimmst du den Öffnungsfaktor $a$ . Die Funktion ist in Scheitelpunktsform gegeben. Daher lässt sich der Öffnungsfaktor $a$ direkt ablesen, denn:
$f (x) = 1 \cdot (x - 1)^{2} - 4$
Also ist $a = 1$ .
Untersuche jetzt, welcher der oben genannten Fälle vorliegt. Wegen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 1$ hat $f$ zwei verschiedene Nullstellen und es handelt sich um den 1. Fall. Einsetzen in die vorgegebene Form liefert die Nullstellenform:
$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) = 1 \cdot (x - 3) \cdot (x - (- 1)) = (x - 3) \cdot (x + 1)$ .
7
Gegeben ist der nebenstehende Graph der Funktion $f$ . Bestimme die Funktionsgleichung in Nullstellenform.

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenform
Bestimmung der Nullstellenform am Graphen
(Verwende wieder das oben beschriebene Schema:)
Zuerst sind die Nullstellen des Graphen zu bestimmen. Du siehst, dass genau eine Nullstelle $x_{1} = - 3$ existiert, deren Vielfachheit $2$ ist. Es liegt also der 2. Fall vor und die Funktionsgleichung ist von der Form
$f (x) = a \cdot (x - (- 3))^{2} = a \cdot (x + 3)^{2}$
mit dem Öffnungsfaktor $a$ .
Als nächstes ist der Öffnungsfaktor $a$ zu bestimmen. Dafür kannst du zwischen zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen wählen:
1. Variante
Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt $S (- 3 | 0)$ und dem Punkt $P (- 2 | 1)$ abgelesen werden.
Du erhältst $a = 1$ .
Die Nullstellenform der Funktion $f$ lautet also:
$f (x) = 1 \cdot (x + 3)^{2} = (x + 3)^{2}$
2. Variante
Abgesehen von $a$ kannst du die Nullstellenform bereits abgeben. Sie lautet:
$f (x) = a \cdot (x + 3)^{2}$
Setze jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist. Dann kannst die Gleichung nach $a$ aufgelösen und erhältst so den gesuchten Öffnungsfaktor.
Wähle zum Beispiel den Punkt $P (- 2 | 1)$ : Dieser liegt auf dem Graphen und ist keine Nullstelle, weil die zweite Koordinate ungleich Null ist. Setze also $P (- 2 | 1)$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf:
$1 = f (- 2) = a \cdot (- 2 + 3)^{2} = a \cdot 1^{2} = a$ .
Die Nullstellenform der Funktion $f$ lautet also:
$f (x) = 1 \cdot (x + 3)^{2} = (x + 3)^{2}$ .
8
Betrachte die quadratische Funktion:
$f (x) = (x - 1) \cdot (x + 3)$
Bestimme die Nullstellen und den Öffnungsfaktor von der Funktion $f$ .

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
Informationen gewinnen
Die Funktion ist in Nullstellenform gegeben. Hier sind also die Nullstellen $x_{1} = 1$ und $x_{2} = - 3$ . Der Öffnungsfaktor ist $a = 1$ .
Überprüfung
Du kannst das überprüfen, indem du die Probe machst. Dazu setzt du $x_{1}$ und $x_{2}$ in die Funktion ein:
$\begin{aligned} f (x_{1}) & = f (1) \\ = (1 - 1) \cdot (1 + 3) \\ = 0 \cdot 4 \\ = 0 \end{aligned}$
und
$\begin{aligned} f (x_{2}) & = f (- 3) \\ = (- 3 - 1) \cdot (- 3 + 3) \\ = (- 4) \cdot 0 \\ = 0 \end{aligned}$
Du siehst also, dass $x_{1}$ und $x_{2}$ Nullstellen sind.
Den Öffnungfaktor kannst du ablesen, indem du die Funktion in Normalform bringst. Dafür multiplizierst du aus:
$\begin{aligned} f (x) & = (x - 1) \cdot (x + 3) \\ = x \cdot (x + 3) - 1 \cdot (x + 3) \\ = x^{2} + 3 \cdot x - x - 3 \\ = x^{2} + 2 \cdot x - 1 \end{aligned} .$
Jetzt ist $f$ in der bekannten Normalform und du siehst, dass der Öffnungsfaktor der quadratischen Funktion $a = 1$ ist.

$f (x)$	$=$	$0$
${(x - 1)}^{2} - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
${(x - 1)}^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
$x - 1$	$=$	$\pm \sqrt{4}$	$+ 1$
$x$	$=$	$\pm 2 + 1$

Exercises: Zero form

Formen

Die Funktion

Die Normalform

Die Scheitelpunktsform

Die Nullstellenform

Überprüfung der Grade

Überprüfung der Nullstelle

Funktion: f2(x)=27⋅(x+18)⋅(x−9)

Funktion: f3(x)=34⋅(x+5)⋅(x+66)

Funktion: f4(x)=42⋅(x−5)2

Funktion: f5(x)=3⋅(x−3)⋅(x−5)

Zusammenfassung

Variante 1

Variante 2

Bestimmung der Nullstellenform

1. Variante

2. Variante

Bestimmung der Nullstellenform am Graphen

1. Variante

2. Variante

Informationen gewinnen

Überprüfung

Funktion: $f_{2} (x) = 27 \cdot (x + 18) \cdot (x - 9)$

Funktion: $f_{3} (x) = 34 \cdot (x + 5) \cdot (x + 66)$

Funktion: $f_{4} (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$

Funktion: $f_{5} (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$